Bir tam sayının kendisini oluşturan çarpımlarına ayrılmasıdır. Aynı zamanda tam sayı yerine bir polinom da olabilir.

Örnek: 36 sayısını çarpanlara ayırmaya kalktığımızda; 9×6 şeklinde yazabiliriz.

Veya x’in karesi-4 işlemini de; (x+2).(x-2)şeklinde yazmak mümkündür.

Sponsor Bağlantılar

Çarpanlara ayırma işleminde; özdeşliklerden faydalanılmaktadır. İçerisinde bilinmeyenlerin yer aldığı her bir değerin doğru olan eşitliklerine; özdeşlik adı verilmektedir. Çarpanlara ayırma işleminde kullanılan özdeşlikler…

Tam Kare Özdeşliği: 2 sayının toplamının karesi ya da 2 sayısının farkının karesinde kullanılan bu yöntem; 3 sayının toplamının karesinde de tercih edilmektedir.

2 farklı terimin toplamının karesi: (x+y)’nin karesi: x kare+ y kare+ 2.x.y’dir.

Sponsor Bağlantılar

2 farklı terimin farkının karesi ise: (x-y)’nin karesi: x kare+y kare- 2.x.y’dir.

3 farklı terimin toplamının karesi: (x+y+z)’nin karesi: x kare+ y kare z kare+ 2.(x.y+y.z+x.z) olmaktadır.

2 teriminin toplamının küpü: (x+y)’nin küpü: x’in küpü+ 3.x’in karesi.y+ 3.x.y’nin karesi+ y küptür.

2 terimin farkının küpü: (x-y)’nin küpü: x’in küpü- 3.x’in karesi.y+ 3.x.y’nin karesi- y küptür.

Sponsor Bağlantılar

İki Kare Farkı Özdeşliği: 2 farklı terimin toplamının çarpımı ile farkının çarpımı; aslında o sayıların karelerinin farkına eşittir.

Örnek: (3+2)x(3-2)=3’ün karesi-2’nin karesi=5

(3+2)x(3-2)=5, 3’ün karesi-2’nin karesi=(3×3)-(2×2)=9-4=5.

Her 2 durumda da sonuç aynıdır. Bunu; (x+y).(x-y)=x kare-y kare şeklinde tarif edebiliriz.

carpanlara-ayirma

Bir örnekle özdeşlikleri pekiştirelim ve bir nevi pratik yapmış olalım.

Soru: 2 sayının toplamı 15, kareleri toplamı ise; 117’dir. Buna göre sayıların çarpımları kaçtır?

Çözüm: Sayılarımızı x ve y olarak baz alıyoruz.

x+y=15             ve               x kare + y kare= 117.

x kare+ y kare ifadesini açalım.

(x+y)’nin karesi- 2.x.y=117 (x+y=15 soruda verildiğinden);

15’in karesi- 2.x.y= 117

225- 2.x.y= 117

2.x.y=225-117

2.x.y=108 olduğundan; x.y=54’tür.

Çarpanlara Ayırma İşleminde Bilinmesi Gerekenler

1)Ortak çarpan parantezinin kullanılması. Her bir terimde ortak kullanılacak olan sayılar parantezin dışında kalır. Her terimin ortak çarpanı da parantez içerisinde yer alır.

Örnek: 9x+9y=9(x+y) olacaktır.

2)Gruplandırma yapılarak çarpanlara ayırma işlemi de yapılmaktadır. Eğer terimlerde ortak bir çarpan yoksa; işlem daha zor olacaktır. Bunu kolaylaştırmak için ikişer ya da üçer gruplandırma yapmak mümkündür.

Örnek: x.y-x.z-y.z-z kare işlemi olsun.

İlk önce x’li kısımları ve daha sonra da z’li kısımları ortak paranteze alarak gruplandıralım.

X(y-z)+z(y-z)

3)x kare+ yx+ z şeklindeki sayıyı çarpanlarına ayırırken; ilk önce çarpımları z olan ve toplamları da y olan 2 adet tam sayı elde edilmelidir Ardından elde edilen bu 2 tam sayının çarpımlarının pozitif olup olmadığı kontrol edilir. Pozitif ise; işaretler aynı olur. Eğer pozitif değilse; işaretleri de farklılık göstermektedir. Eğer toplamları pozitifse işaret pozitif; toplamları negatifse işaret de aynı şekilde negatif olacaktır. Çarpımlarının negatif olmasına rağmen; toplamlarının pozitif olması durumu, büyük sayının işaretinin pozitif olmasına bağladır. Mesela +6x-2= -12 olmasına rağmen; +6+(-2)=+4 olacaktır.

Örnek: z kare- 7x +10 sayısını çarpanlarına ayıralım.

Çözüm: 10 sayısının çarpanlarını topladığımızda -7 sayısını elde etmemiz gerektiğinden; buna uygun çarpan bulmamız gerekiyor. Sonuç negatif olduğundan her 2 sayı da negatif olacaktır. 5 ve 2 sayıları bu duruma uyuyor. Zira -5x-2=+10 yapıyor; ama toplamları negatif oluyor ve -7 sonucu çıkıyor. Sorunun cevabını da; (z-5)x(z-2) olarak yazılmaktadır.

çarpım tablosu

Bir Yorum Yazın

Email adresiniz gizli kalacaktır. Zorunlu alanlar şu işaretle bildirilmiştir: *